Ensembles finis Exemples

$64 w^{3} - 343 = 0$

Étape 1

Ajoutez $343$ aux deux côtés de l’équation.

$64 w^{3} = 343$

Étape 2

Soustrayez $343$ des deux côtés de l’équation.

$64 w^{3} - 343 = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Réécrivez $64 w^{3}$ comme ${(4 w)}^{3}$ .

${(4 w)}^{3} - 343 = 0$

Étape 3.2

Réécrivez $343$ comme $7^{3}$ .

${(4 w)}^{3} - 7^{3} = 0$

Étape 3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 4 w$ et $b = 7$ .

$(4 w - 7) ({(4 w)}^{2} + 4 w \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la règle de produit à $4 w$ .

$(4 w - 7) (4^{2} w^{2} + 4 w \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

Étape 3.4.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(4 w - 7) (16 w^{2} + 4 w \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

Étape 3.4.3

Multipliez $7$ par $4$ .

$(4 w - 7) (16 w^{2} + 28 w + 7^{2}) = 0$

Étape 3.4.4

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$(4 w - 7) (16 w^{2} + 28 w + 49) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 w - 7 = 0$

$16 w^{2} + 28 w + 49 = 0$

Étape 5

Définissez $4 w - 7$ égal à $0$ et résolvez $w$ .

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Étape 5.1

Définissez $4 w - 7$ égal à $0$ .

$4 w - 7 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $4 w - 7 = 0$ pour $w$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$4 w = 7$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $4 w = 7$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 w = 7$ par $4$ .

$\frac{4 w}{4} = \frac{7}{4}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 w}{4} = \frac{7}{4}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $w$ par $1$ .

$w = \frac{7}{4}$

Étape 6

Définissez $16 w^{2} + 28 w + 49$ égal à $0$ et résolvez $w$ .

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Étape 6.1

Définissez $16 w^{2} + 28 w + 49$ égal à $0$ .

$16 w^{2} + 28 w + 49 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $16 w^{2} + 28 w + 49 = 0$ pour $w$ .

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Étape 6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 16$ , $b = 28$ et $c = 49$ dans la formule quadratique et résolvez pour $w$ .

$\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 49)}}{2 \cdot 16}$

Étape 6.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.3.1.1

Élevez $28$ à la puissance $2$ .

$w = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 16 \cdot 49}}{2 \cdot 16}$

Étape 6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 16 \cdot 49$ .

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Étape 6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$w = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 64 \cdot 49}}{2 \cdot 16}$

Étape 6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 64$ par $49$ .

$w = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 3136}}{2 \cdot 16}$

Étape 6.2.3.1.3

Soustrayez $3136$ de $784$ .

$w = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 2352}}{2 \cdot 16}$

Étape 6.2.3.1.4

Réécrivez $- 2352$ comme $- 1 (2352)$ .

$w = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2352}}{2 \cdot 16}$

Étape 6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2352)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}$ .

$w = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 16}$

Étape 6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$w = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 16}$

Étape 6.2.3.1.7

Réécrivez $2352$ comme $28^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.2.3.1.7.1

Factorisez $784$ à partir de $2352$ .

$w = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{784 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 6.2.3.1.7.2

Réécrivez $784$ comme $28^{2}$ .

$w = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{28^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$w = \frac{- 28 \pm i \cdot (28 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 6.2.3.1.9

Déplacez $28$ à gauche de $i$ .

$w = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$w = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{32}$ .

$w = \frac{- 7 \pm 7 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$w = - \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 w - 7) (16 w^{2} + 28 w + 49) = 0$ vraie.

$w = \frac{7}{4}, - \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 8